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ζ函数

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ζ 函数(ζ-function)是用来刻画系统周期点性态的函数,是动力微分系统的重要研究对象。

Smale猜测公理A微分同胚有有理的ζ函数,以后Maninng使用Markov分解这一手段得出证明。张筑生证明了扩张自映射有有理的ζ函数。冯庆富通过公理A*的使用,证明了:①公理A自覆盖映射具有“Markov分解”,这是公理A微分同胚相应结果的推广;②公理A自覆盖映射有有理的ζ函数。

ζ 函数 (ζ-function)是用来刻画系统周期点性态的函数。设M是微分流形,f:M→M是邀樱可微映射,对m=1,2,...,记Nm=Nm(f)为f的不动点数目。假设Nm<+∞,m=1,2, ...,如下形享举遥晚式的幂级数:

这里Γ是φ的除奇点外的周期轨道的集合,ζ(γ)是周期轨道的周期。

设X是拓扑空间,f:X→X是连续映射,f的不动点数Nn(f)<+∞,任意n∈N,则称

为f的ζ函数。

这里

又以σ表示转移映射:

设A=(A(j,k))是h*h方阵,其中各A(j,k)是0或1。我们把

所有形谜断仔状如

设M是微分流形,U

这里|·|表示由<·,·>引出的范数。特别地,如果M是紧致的,f∈C(M,M)在M上扩张,则称f是扩张映射。

f∈C(U,M)称为篮剃姜在

如果f∈C(U,M)在紧殃拜放弃致不变集

集合S的基数记为#S。

紧致光滑流形M上的扩张自映射f具有有理的ζ函数。

设M是光滑流形,f∈C(M,M),

设f∈C(M,M)在紧致集

并且对任意x∈V,0<ρ'<ρ有f(B(x,p'))

设W∈int V是

设e是f在V中的可扩常数。选取β满足

选取p1,...,ps∈W使得

公理A是在微分动力系统结构稳定性和Ω稳定性的研究中,由斯梅尔提出的一个基本条件。满足公理A条件要求的系统被称为公理A系统。设M是紧致微分流形,f:M→M是微分同胚。涉及f的以下条件称为公理A系统:

1.非游荡集Ω(f)具有双曲结构;

2.周期点在非游荡集中稠密;

对M上的C向量场X来说,设φ是X导出的流,若Ω(φ)=F∪

1.F是φ的有限个双曲奇点的集合;

2.

3.F∩

则称φ为公理A流。

莫尔斯-斯梅尔系统以及安诺索夫系统都是公理A系统。斯梅尔正是在概括了这两个系统及其他结构稳定系统后提出公理A条件的。公理A系统的遍历性质及其非游荡集的结构等动力学性质的研究已取得丰富成果。