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圆周率(圆的周长与直径的比值)

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圆周率(Pi)是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母π表示,是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比,是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里,π可以严格地定义为满足sinx=0的最小正实数x

圆周率用希腊字母π(读作pài)表示,是一个常数(约等于3.141592653),是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数,即无限不循环小数。在日常生活中,通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用十位小数3.141592653便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算,充其量也只需取值至小数点后几百个位。

1965年,英国数学家约翰·沃利斯(John Wallis)出版了一本数学专著,其中他推导出一个公式,发现圆周率等于无穷个分数相乘的积。2015年,罗切斯特大学的科学家们在氢原子能级的量子力学计算中发现了圆周率相同的公式 。

2019年3月14日,谷歌宣布圆周率现已到小数点后31.4万亿位。

一块古巴比伦石匾(约产于公元前1900年至公元前1600年)清楚地记载了圆周率=25/8=3.125。 同一时期的古埃及文物,莱因德数学纸草书(Rhind Mathematical Papyrus)也表明圆周率等于分数16/9的平方,约等于3.1605。 埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。英国作家John Taylor(趋舟己1781—1864)在其名著和店主狼《金字塔》(《The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?》)中指出,造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。例如,金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍,正好等于圆的周长和半径之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》(Satapatha Brahmana)显示了圆周率等于分数339/108,约等于3.139。

古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287年—公元前212年)开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发,先用内接正六边形求出圆周率的下界为3,再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着,他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍,将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形,再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍,直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后,他求出圆周率的下界和上界分别为223/71和22/7,并取它们的平均值3.141851为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念,称得上是“计算数学”的鼻祖。

中国古算书《周髀算经》(约公元前2世纪)的中有“径一而周三”的记载,意即取

公元263年,中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率,他先从圆内接正六边形,逐次分割一直算到圆内接正192边形。他说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”这包含了求极限的思想。刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值,刘徽在得圆周率=3.14之后,将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验,发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形,求出3072边形的面积,得到令自己满意的圆周率

公元480年左右,南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果,给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927,还得到两个近似分数值,密率

在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。其中的密率在西方直到1573年才由德国人奥托(Valentinus Otho)得到,1625年发表于荷兰工程师拘嘱耻乎安托尼斯(Metius)的著作中,欧洲称之为Metius' number。

约在公元530年,印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为

阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值,打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家鲁道夫·范·科伊伦(Ludolph van Ceulen)于1596年将π值算到20位小数值,后投入毕生精力,于1610年算到小数敬局腊后35位数,该数值被用他的名字称为鲁道夫数。

这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求π,摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现,使得π值计算精度迅速增加。

第一个快速算法由英糠迎枣国数学家梅钦(John Machin)提出,1706年梅钦计算π值突破100位小数大格姜关,他利用了如下公式:

其中arctanx可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。

斯洛文尼亚数学家Jurij Vega于1789年得出π的小数点后首140位,其中只有137位是正确的。这个世界纪录维持了50年。他利用了梅钦于1706年提出的数式。

到1948年英国的弗格森(D. F. Ferguson)和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值,成为人工计算圆周率值的最高纪录。

电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年,美国制造的世上首部电脑——ENIAC(ElectronicNumerical Integrator And Computer)在阿伯丁试验场启用了。次年,里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑,计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作,扣除插入打孔卡所花的时间,等于平均两分钟算出一位数。五年后,IBM NORC(海军兵器研究计算机)只用了13分钟,就算出π的3089个小数位。科技不断进步,电脑的运算速度也越来越快,在20世纪60年代至70年代,随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争,π的值也越来越精确。在1973年,Jean Guilloud和Martin Bouyer以电脑CDC 7600发现了π的第一百万个小数位。

在1976年,新的突破出现了。萨拉明(Eugene Salamin)发表了一条新的公式,那是一条二次收敛算则,也就是说每经过一次计算,有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式,但十分复杂,在那没有电脑的时代是不可行的。这算法被称为布伦特-萨拉明(或萨拉明-布伦特)演算法,亦称高斯-勒让德演算法。

1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷-2型(Cray-2)和IBM-3090/VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数,后又继续算到小数点后10.1亿位数。2010年1月7日——法国工程师法布里斯·贝拉将圆周率算到小数点后27000亿位。2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合,计算出圆周率到小数点后5万亿位。

2011年10月16日,日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位,刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。56岁的近藤茂使用的是自己组装的计算机,从10月起开始计算,花费约一年时间刷新了纪录。

日期

计算者

国籍

正确位数

详细纪录

前20世纪

未知

古巴比伦王国

1

π=3.125

前20世纪

未知

古印度

1

π=3.160493...

前12世纪

未知

中国

-

π=3

前6世纪中

圣经列王记上7章23节

-

π=3

前3世纪

阿基米德

古希腊

3

π=3.1418

公元前20年

维特鲁威

古罗马

1

π=3.125

公元前50年-公元前23年

刘歆

中国

1

π=3.1547

130年

张衡

中国

1

π=3.162277…

150年

未知

托勒密

3

π=3.141666…

250年

王蕃

中国

1

π=3.155555…

263年

刘徽

中国

5

π=3.14159

480年

祖冲之

中国

7

3.1415926

499年

阿耶波多

印度

3

π=3.1416

598年

婆罗摩笈多

印度

1

π=3.162277…

800年

花拉子米

乌兹别克

3

π=3.1416

12世纪

婆什迦罗第二

印度

4

π=3.14156

1220年

斐波那契

意大利

3

π=3.141818

1400年

Madhava

10

π=3.14159265359

1424年

Jamshid Masud Al Kashi

16

1573年

Valentinus Otho

6

1593年

弗朗索瓦·韦达

法国

9

1593年

Adriaan van Roomen

15

1596年

鲁道夫·范·科伊伦

20

1615年

32

1621年

威理博·司乃耳,范·科伊伦的学生

35

1665年

牛顿

16

1699年

Abraham Sharp

71

1700年

关孝和

10

1706年

John Machin

100

1706年

William Jones

引入希腊字母π

1719年

De Lagny

112

得出127位

前112位正确

1723年

建部贤弘

41

1730年

Kamata

25

1734年

莱昂哈德·欧拉

引入希腊字母π并肯定其普及性

1739年

松永良弼

50

1761年

约翰·海因里希·兰伯特

证明π是无理数

1775年

欧拉

指出π可能是超越数

1794年

Jurij Vega

136

得出140位小数

前136位正确

1794年

阿德里安-马里·勒让德

-

1841年

Rutherford

152

得出208位小数

前152位正确

1844年

Zacharias Dase及Strassnitzky

200

1847年

Thomas Clausen

248

1853年

Lehmann

261

1853年

William Rutherford

440

1855年

Richter

500

1874年

William Shanks

527

得出707位小数

前527位正确

1882年

Lindemann

证明π是超越数

1946年

D. F. Ferguson

620

1947年

710

1947年

808

1949年

J. W. Wrench爵士和L. R. Smith

2,037

首次使用计算机

1955年

J. W. Wrench爵士及L. R. Smith

3,089

1957年

G.E.Felton

7,480

1958年

Francois Genuys

10,000

1958年

G.E.Felton

10,020

1959年

Francois Genuys

16,167

1961年

IBM 7090

晶体管计算机

20,000

1961年

J. W. Wrench, Jr,及L. R. Smith

100,000

1966年

250,000

1967年

500,000

1974年

1,000,000

1981年

金田康正

2,000,000

1982年

4,000,000

1983年

8,000,000

1983年

16,000,000

1985年

Bill Gosper

17,000,000

1986年

David H. Bailey

29,000,000

1986年

金田康正

33,000,000

1986年

67,000,000

1987年

134,000,000

1988年

201,000,000

1989年

楚诺维斯基兄弟

480,000,000

1989年

535,000,000

1989年

金田康正

536,000,000

1989年

楚诺维斯基兄弟

1,011,000,000

1989年

金田康正

1,073,000,000

1992年

2,180,000,000

1994年

楚诺维斯基兄弟

4,044,000,000

1995年

金田康正和高桥大介

4,294,960,000

1995年

6,000,000,000

1996年

楚诺维斯基兄弟

8,000,000,000

1997年

金田康正和高桥大介

51,500,000,000

1999年

68,700,000,000

1999年

206,000,000,000

2002年

金田康正的队伍

1,241,100,000,000

2009年

高桥大介

2,576,980,370,000

2009年

法布里斯·贝拉

法国

2,699,999,990,000

2010年

近藤茂

5,000,000,000,000

2011年

IBM“蓝色基因”

超级电脑

π的前60,000,000,000,000位二进制小数

注:上表正确位数是指小数点后的位数。

小数点后位数

首次算准者

首次算准时间

1

巴比伦人

前20世纪

2-3

阿基米德

前3世纪(距离上次1700年)

4-5

刘徽

263年(距离上次563年以上)

6-7

祖冲之

480年(距离上次217年)

8-10

Madhava

1400年(距离上次920年)

11-16

Jamshid Masud Al Kashi

1424年(距离上次24年)

17-20

鲁道夫·范·科伊伦

1596年(距离上次172年)

21-32

1615年(距离上次19年)

33-35

威理博·司乃耳, 范·科伊伦的学生

1621年(距离上次6年)

36-71

Abraham Sharp

1699年(距离上次78年)

72-100

John Machin

1706年(距离上次7年)

101-112

De Lagny

1719年(距离上次13年)

113-136

Jurij Vega

1794年(距离上次75年)

137-152

Rutherford

1841年(距离上次47年)

153-200

Zacharias Dase及Strassnitzky

1844年(距离上次3年)

201-248

Thomas Clausen

1847年(距离上次3年)

249-261

Lehmann

1853年(距离上次6年)

262-440

William Rutherford

1853年(距离上次0年)

441-500

Richter

1855年(距离上次2年)

501-527

William Shanks

1874年(距离上次19年)

528-620

D. F. Ferguson

1946年(距离上次72年)

621-710

1947年(距离上次1年)

711-808

1947年(距离上次0年)

备注:这里只列出人工计算的最高记录,808位

要注意不可把

圆周率(

注意:将

上式中令

其中

而半径为r的圆的面积S由以下积分给出:

其中

于是,

因此,我们得到关系式:

这样一来也得到了我们熟知的圆面积公式

第二个做法是,以圆形半径为边长作一正方形,然後把圆形面积和此正方形面积的比例定为

定义圆周率不一定要用到几何概念,比如,我们可以定义

这里的正弦函数定义为幂级数

把圆周率的数值算得这么精确,实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值,有十几位已经足够了。如果以39位精度的圆周率值,来计算可观测宇宙(observable universe)的大小,误差还不到一个原子的体积 。以前的人计算圆周率,是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数,1882年林德曼证明了圆周率是超越数后,圆周率的神秘面纱就被揭开了。

π在许多数学领域都有非常重要的作用。

平面图形

周长

面积

圆环

扇形

注:①

②周长、弧长用长度单位,面积用面积单位。

立体图形

表面积

体积

圆柱

圆锥

注:①

②底面周长用长度单位,表面积(含底面积和侧面积)用面积单位,体积用体积单位或容积单位。

π是个无理数,即不可表达成两个整数之比,是由德国科学家约翰·海因里希·兰伯特于1761年证明的 。1882年,林德曼(Ferdinand von Lindemann)更证明了π是超越数,即π不可能是任何整系数多项式的根。

圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性,因所有尺规作图只能得出代数数,而超越数不是代数数。

Leibniz定理:

wallis公式:

高斯积分:

斯特林公式:

欧拉公式:

π的连分数表示:

两个任意自然数是互质的概率是

任取一个任意整数,该整数没有重复质因子的概率为

一个任意整数平均可用

设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板,随意抛一支长度比木纹之间距离小的针,求针和其中一条木纹相交的概率。这就是布丰投针问题。1777年,布丰自己解决了这个问题——这个概率值是1/π。

正态分布的概率密度函数:

海森堡不确定性原理:

相对论的场方程:

2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际数学节,来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率。

国际圆周率日可以追溯至1988年3月14日,旧金山科学博物馆的物理学家Larry Shaw,他组织博物馆的员工和参与者围绕博物馆纪念碑做3又1/7圈(22/7,π的近似值之一)的圆周运动,并一起吃水果派。之后,旧金山科学博物馆继承了这个传统,在每年的这一天都举办庆祝活动。

2009年,美国众议院正式通过一项无约束力决议,将每年的3月14日设定为“圆周率日”。决议认为,“鉴于数学和自然科学是教育当中有趣而不可或缺的一部分,而学习有关π的知识是一教孩子几何、吸引他们学习自然科学和数学的迷人方式……π约等于3.14,因此3月14日是纪念圆周率日最合适的日子。”

历史上最马拉松式的人手π值计算,其一是德国的鲁道夫·范·科伊伦(Ludolph van Ceulen),他几乎耗尽了一生的时间,于1609年得到了圆周率的35位精度值,以至于圆周率在德国被称为Ludolphine number;其二是英国的威廉·山克斯(William Shanks),他耗费了15年的光阴,在1874年算出了圆周率的小数点后707位,并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜,后人发现,他从第528位开始就算错了。

在谷歌公司2005年的一次公开募股中,共集资四十多亿美元,A股发行数量是14,159,265股,这当然是由π小数点后的位数得来。(顺便一提,谷歌公司2004年的首次公开募股,集资额为$2,718,281,828,与数学常数e有关 )

排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数,使之越来越接近π的值:3.1,3.14,……当前的最新版本号是3.1415926。

每年3月14日为圆周率日。“终极圆周率日”则是1592年3月14日6时54分(因为其英式记法为“3/14/15926.54”,恰好是圆周率的十位近似值)和3141年5月9日2时6分5秒(从前往后,3.14159265)。

7月22日为圆周率近似日(英国式日期记作22/7,看成圆周率的近似分数)。

有数学家认为应把“真正的圆周率”定义为2π,并将其记为τ(发音:tau)。

2019年3月14日,谷歌宣布日裔前谷歌工程师爱玛(Emma HarukaIwao)在谷歌云平台的帮助下,计算到圆周率小数点后31.4万亿位,准确的说是31415926535897位,比2016年创下的纪录又增加数万亿位。据了解,爱玛的团队使用了一个名为ycruncher的程序,能将π计算到小数点后数万亿位。该程序由谷歌云平台计算引擎上运行的25个虚拟机驱动。而2016年纪录的创造者皮特(Peter Trueb)是用一台电脑计算出来的。这项计算需要170TB的数据,与整个美国国会图书馆印刷藏品数据量大致相同,爱玛经过大约4个月的计算才打破了此前的世界纪录。