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伽玛函数

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伽玛函数(Gamma函数),也叫欧拉第二积分,是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数,也叫第一类欧拉积分,可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

伽玛函数(Gamma Function)作为阶乘的延拓,是定义在复数范围内的亚纯函数,通常写成

(1)在实数域上伽玛函数定义为:

(2)在复数域上伽玛函数定义为:

其中

(3)除了以上定榆厦键义之外,伽马函数公式还有另外一个写法:

我们都知道

(4)伽马函数还可以定义为无穷乘积:

不完全Gamma函数

详见不完全伽马函数

1728年,哥德巴赫在考虑数列插值的问题,通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合,例如数列1,4,9,16.....可以朵慨脚煮用通项公式n²自然的表达,即便 n 为实数的时候,这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,...,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢?我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上,确实可以看到,容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

但是哥德巴纸格海赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题,于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利,由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利榜阀拜说在一块,他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美地解决了这个问题,由此导致了伽玛 函数的诞生,当时欧拉只有22岁。

对1/(1-x)进行离散与连续展开,有

1/(1-x)=

∑x^k

=∫e^-(1-x)tdt

=∫e^-t∑(xt)^k/k!dt

=∑(∫e^(-t)t^kdt)x^k/k!

对比系数有k!=∫e^(-t)t^kdt

x在收敛域(-1,1)内,求和积分均在0到+∞

最后的积分中我们可以让k取任意实数,这样我们就把阶乘延拓到实数集中了

1、通过分部积分的方法,可以推导出这个函数有如下的递归性质:

于是很容易证明,伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓,对于正整数n,具有如下性质:

2、与贝塔函数的主挨关系:

3、在概率的研究中有一个重要的分布叫做伽玛分布

其中

4、对

这个公式称为余元公式

由此可以拳键设推出以下重要的概率公式:

5、对于

6、伽马函数是亚纯函数,在复平面上,除了零和负整数点以外,它全部解析,而伽马函数在

Gamma 函数从它诞生开始就被许多数学家进行研究,包括高斯、勒让德、魏尔斯特拉斯、刘维尔等等。遥拒屑这个函数在现代数学分析中被深入研究,在概率论中也是无处不在,很多统计分布都和这个函数相关。Gamma 函数作为阶乘的推广,首先它也有和 Stirling 公式类似的一个结论:即当x取的数越大,Gamma 函数就越趋向于 Stirling 公式,所以当x足够大时,可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值。

伽玛函数的对数的导数称为Digamma函数,记为

Digamma函数同调和级数相关,其中

其中

是欧拉常数。

而对于任意x有

在复数范围内,Digamma函数可以写成

而Digamma函数的泰勒展开式为

其中函数

类似伽玛函数,Digamma函数可以有渐进式:

而且用Γ函数的值还可以求出e和t的关系。e=2√t/2(1-t^x)/1-t-γ。其中,γ是欧拉常数,e是自然常数。

在Matlab中的应用

其表示N在N-1到0范围内的整数阶乘。

公式为:gamma(N)=(N-1)*(N-2)*...*2*1

例如:

gamma(6)=5*4*3*2*1

ans=120