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p进数

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p进数是数论中的概念,也称作局部数域,是有理数域拓展成的完备数域的一种。

p进数的概念首先由库尔特·亨泽尔于1897年构思并刻画,其发展动机主要是试图将幂级数方法引入到数论中,但现今p进数的影响已远不止于此。例如可以在p进数上建立p进数分析,将数论和分析的工具结合起来。此外p进数在量子物理学、认知科学、计算机科学等领域都有应用。

p-adic numbers由Kurt Hensel在1908年首先引入。对每个质数p, p进数系统将有理数的普通算术用一种不同于实数和复数系统的方法进行了扩展。这是通过对绝对值这一概念的另一种解释来达成的。p进数主要是被一次将幂级数的思想和技术引入到数论中的尝试所推动,但它们影响不止于此。例如,p进数分析这一领域实际上提供了另一种形式的微积分。

更精确的讲,给定一个质数p,p进数的域 Qp是有理数的扩展. 把所有Qp域放在一起考量,我们就有了Helmut Hasse的局部-全体原则, 该原则大意是特定方程组在有理数上有解当且仅当它们在实数上和所有质数p的p进数上有解。域 Qp也是一个度量拓扑空间,该度量由有理数的另一种取值导出。该度量是完备的(每个柯西列收敛).这使得Qp上能引入微积分,这个分析和代数结构的交互影响给了p进数系统其价值和用途。

p进整数

此时所有的p进整数构成含幺交换环,其零元与单位元分别为全零和全一的p进整数。

显然如果

有了如上性质我们可以定义p进有理数为

每个p进数

其中k就是x的p进赋值

这说明p进整数数列表示中,随着项数增大,数列的项在

仿照有理数中p进制的记数法,可以将p进数x记为:

称为p进数的p进记法。

从代数构造方法中可知,整数Z可以自然地嵌入Zp中,因此非负整数在Qp中表现为有限位数的p进整数。其p进记法和p进制记数法雷同。例如当 p=5时,自然数 438记为: 32235。负整数和分母不为p的正整数次幂的分数在p进记法中则表现为向左侧延伸的无限循环。例如

计算方法如下:

如果有理数x的分子或分母里含有p的幂次,则可以仿照p进制记数法的做法,先将其提出作为因数,写成

因此,分母为p的正整数次幂的分数在p进数中表现为有限小数。

p进数对于同余信息有一种独特的编码方法,这在数论里作用很大。例如,困扰数学家长达三百多年的费马最后定理,终于在1994年由安德鲁·怀尔斯使用p进数理论证明,这是数学上的重大突破。怀尔斯因此获得2005年度邵逸夫奖。

p进数刚出现时,学者们最初认为这理论属于纯数学领域,毫无任何实用价值。但1968年,两位纯数学研究者A. Monna和F. Van Der Blij首先提出将p进数应用到物理学中。1972年,E. Beltrametti和G. Cassinelli探讨了一种取值为p进数的量子逻辑状态模型。进入二十世纪八十年代后,p进数在量子物理学中的应用愈为广泛。首先涌现的是p进弦和p进超弦模型。量子物理学家在这些模型中使用与实数拓扑性质不同的p进数,以构建出不同的时空结构,描述在普朗克尺度下与大尺度完全不同的物理现象和行为。在普朗克尺度下,基于实数的模型无法很好的描绘出某些量子特性,而p进数域的某些性质,比如说无序性,和普朗克尺度下的物理特质相近。

p进数量子物理学中的应用也带动了数学中对p进数的研究。例如p进弦论的研究促使数学家展开了对p进数上的分布理论、微分方程及伪微分方程(pseudodifferential equation)、概率论以及p进数上相应希尔伯特空间(装备了额外结构的

p进数的数列展开表示可以被用于信息的编码。因此p进数可以被用来描述很多信息处理的过程,在认知科学、心理学和社会学研究中出现。

算术动力系统是二十世纪九十年代提出的数学理论,整合了动力系统及数论。传统的离散动力系统会探讨迭代函数在复平面或是实数中的性质。算术动力系统则探讨多项式或解析函数在整数、有理数、p进数及几何点中的迭代特性。p进数动力系统在计算机科学领域中的直线式程序(straight-line programs)问题、数值分析与模拟中的伪随机数问题、密码学中的流加密问题上都有重要作用。在计算机科学和自动机理论中,p进遍历理论可以帮助快速制造大拉丁方。后者在实验设计、软件测试和通信理论中都有良多应用。