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非互补欧拉商数

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非互补欧拉商数(noncototient)是指一个正整数n,不存在任一个整数m使下式成立: 其中表示欧拉函数,是小于m的正整数中和m互质整数的个数,称为m的互补欧拉商数,因此非互补欧拉商数就是指不在互补欧拉商数值域内的整数。


  头几个非互补欧拉商数是:
  10,26,34,50,52,58,86,100,116,122,130,134,146,154,170,172,186,202,206,218,222,232,244,260,266,268,274,290,292,298,310,326,340,344,346,362,366,372,386,394,404,412,436,466,470,474,482,490,518,520(OEIS中的数列A005278)。
  目前已知的非互补欧拉商数均为偶数,因此猜想所有的非互补欧拉商数均为偶数,猜想中有用到有经过修改的哥德巴赫猜想:若偶数n可以表示为二个相异质数p及q的和,则
  依照哥德巴赫猜想,所有大于6的偶数都可以表示为二个相异质数p及q的和,此偶数减1所得的奇数就是pq的互补欧拉商数,因此很可能所有大于5的奇数都是互补欧拉商数,而未考虑到的奇数有1,3,5,而,,这些数也都是互补欧拉商数,因此很可能所有的非互补欧拉商数均为偶数。
  Erdős和Sierpinski曾猜想存在有无限多个非互补欧拉商数,后来Browkin和Schinzel在1995年证实此一猜想,他们证明无穷数列的每一项都是非互补欧拉商数,Flammenkamp和Luca在2000年提出了其他形式大致接近的范例。