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辛流形

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数学上,一个辛流形是一个装备了一个闭、非退化2-形式ω的光滑流形,ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学的抽象表述中的流形的余切丛自然的出现,例如在经典力学的哈密顿表述中,该领域的一个主要原因之一:一个系统的所有组态的空间可以用一个流形建模,而该流形的余切丛描述了该系统的相空间。

一个辛流形上的任何实值可微函数H可以用作一个能量函数或者叫哈密顿量。和任何一个哈密顿量相关有一个哈密顿向量场;该哈密顿向量场的积分曲线是哈密顿-雅可比方程的解。哈密顿向量场定义了辛流形上的一个流场,称为哈密顿流场或者叫辛同胚。根据刘维尔定理,哈密顿流保持相空间的体积形式不变。

具有某种特殊结构的微分流形,这种结构称为辛结构。设M为一微分流形,又在M上具有一个二次非退化的闭外微分形式σ,则称σM上的一个辛结构,又称M为具辛结构σ的辛流形。微分流形的辛结构联系于向量空间的辛结构。设V是m维向量空间,在V上定义了一个反对称、非退化的双线性形式σ,即σ满足:①反对称性,σ(α,β)=-σ(β,α),对任意α,βV成立;②非退化,若对任意βV,有σ(α,β)=0,必有α=0,则称σ为向量空间V上的一个辛结构,又称V 为具辛结构σ的辛向量空间。对于具辛结构σ的微分流形M,在每一点xM,将σ(x)视为TxM上的双线性形式,即得出向量空间TxM上的辛结构。具辛结构的向量空间 V或具辛结构的微分流形M都必须是偶数维的。

辛流形总是自带一个辛结构ω,其外积构成辛流形的辛形式,它是处处非零的。一般而言,辛流形的辛形式只是光滑的,只能保证辛流形的可定向的,必须要全纯辛形式才一定保证能够有复定向,这样的辛流形被称为全纯辛流形。全纯辛流形是否一定存在呢?答案是肯定的,在Berger的分类中,完整群为Sp(m)的hyperkahler manifold就是全纯辛流形,因此一定是复可定向的。

对于全纯辛流形而言,就连复定向也变成平庸的了,似乎还要考虑更高层次的辛定向,定义为存在处处非零的辛体积形式,使得四元数射影空间具有与复射影空间或实射影空间类似的定向。

有一个标准“局部”模型,也就是R,其中ωi,n+i= 1;ωn+i,i= -1;ωj,k= 0 对于所有i = 0,...,n-1;j,k=0,...,2n-1(kj+nandjk+n)。这是一个线性辛空间的例子。参看辛向量空间。一个称为达布定理的命题表明局部来看每个辛流形都和这个简单的辛流形相似。

从定义可以直接得到每个辛流形M都是偶数维2n;这是因为ω是无处为0的形式,辛体积形式。由此可以得到,每个辛流形是有一个标准的定向的,并且有一个标准的测度,刘维尔测度(经常重整为ω/n!)。

和辛流形紧密相关的有一个奇数维流形,称为切触流形。每个2n+1-维切触流形(M, α)给出一个2n+2-维辛流形(M×R, d(eα)).

辛流形的子流形有两个自然的几何概念,它们是辛子流形(可以是任何偶数维)和拉格朗日子流形(一半维度),其中辛流形要导出该子流形上的一个辛形式,而辛流形限制到拉格朗日子流形的切空间上时为0。拉格朗日子流形自然地出现到很多物理和几何的情况中;例如,辛同胚的图像在乘积辛流形(M×M, ω × −ω)上是拉格朗日子流形。

一个系统的所有组态的空间(位形空间)可以用一个流形建模,而该流形的余切丛描述了该系统的相空间。"原来位形空间是一个流形,是一个图集。啥是余切丛呢? " 微分几何中,流形的余切丛是流形每点的切空间组成的向量丛。可以在余切丛上定义一组特殊的坐标系;这些被称为正则坐标。因为余切丛可以视为辛流形,任何余切丛上的实函数总是可以解释为一个哈密顿函数;这样余切丛可以理解为哈密顿力学讨论的相空间。" 这样理解,整个体系在3N维位形空间流动,每个点都有一条切线(光滑的嘛),这个切线的斜率就是这点的一阶导(受力),但是这个一阶导实际上是由所有的粒子的一阶导(受力)线性加和构成的,所有粒子的一阶导(3N个分量fix, fiy, fiz)构成了向量丛。每个粒子都有坐标向量和动量向量,构成正则坐标,正则坐标构成相空间,哈密顿为此相空间的实函数。而这个相空间就是一个辛流形,是位形空间上的满足封闭,光滑,可点乘,不退化,满足空间对称和时间对称的哈密顿函数。所以辛流形描述了相空间与哈密顿之间的数学特性。