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≌(全等)是一个数学符号。

全等形的性质:全等图形形状大小(即周长、面积、边长、腰长以及所有对应角、对应边、角度与长度)完全相同。

全等是相似(∽)的一种特例。当相似比为1时,两图形全等。

边角边 SAS

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF(SAS)

角边角 ASA

在△ABC和△DEF中

∵{∠B=∠E

{BC=EF

{∠C=∠F

∴△ABC≌△DEF(ASA)

角角边 AAS

在△ABC和△DEF中

∵{∠B=∠E

{∠C=∠F

{AC=DF

∴△ABC≌△DEF(AAS)

角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线

边边边 SSS

在△ABC和△DEF中

∵{AB=DE

{AC=DF

{BC=EF

∴△ABC≌△DEF(SSS)

三角形的稳定性

HL垂直全等 (直角三角形)

∵AB⊥BC→∠ABC=90°

BD⊥AD→∠BDA=90°

在Rt△ABC和Rt△ABD中 (Rt三角形,就是直角三角形)

{∠ACB=∠BAD=90°

{AC=BD

{AB=BA

∴△ABC≌△DEF(HL)

截长补短法,是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法,也是把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上截取成两段,补短就是在一条边上延长,使其等于一条所求边。

截长1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。

补短1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

例题:

例1:正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,∠EAF=45°。求证:EF=DE+BF。

证明:延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG。

∵ABCD是正方形

∴∠ADG=∠ABF=90°,AD=AB

又∵DG=BF

∴ADG≌ABF(SAS)

∴∠GAD=∠FAB,AG=AF

∵ABCD是正方形

∴∠DAB=90°

=∠DAF+∠FAB

=∠DAF+∠GAD

=∠GAF

∴∠GAE=∠GAF-∠EAF

=90°-45°

=45°

∵∠GAE=∠FAE=45°,AG=AF,AE=AE

∴△EAG≌△EAF(SAS)

∴EF=GE

=GD+DE

=BF+DE

例2:已知AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点,求∠AEB的度数。

解:向AE方向延长AE,交BC的延长线于F。

∵∠5和∠6是对顶角

∴∠5=∠6

∵E是CD的中点

∴DE=EC

∵AD∥BC

∴∠1=∠F

∴△AED≌△CEF(AAS)

∴AD=CF,AE=EF

∴AB=AD+BC

=CF+BC

=BF

∴△ABF是等腰三角形且AF为底边

又∵AE=EF且点E在线段AF上

∴BE⊥AF

∴∠AEB=90°

例3:在△ABC中,∠B=2∠C,AD平分∠BAC。求证:AB+BD=AC。

证明:在AC上截取AE=AB,连接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

又∵AD=AD,AB=AE

∴△ABD≌△AED(SAS)

∴BD=DE,∠B=∠3

又∵∠B=2∠C

∴∠3=2∠C

又∵∠3=∠4+∠C

∴2∠C=∠4+∠C

即∠C=∠4

∴DE=CE

∴BD=CE

∵AE+EC=AC

∴AB+BD=AC

例4:AC平分∠DAB,∠ADC+∠B=180°。求证:CD=CB。

证明:在AB上找一点E,使AE=AD,连接CE

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠BAC

又∵AE=AD,AC=AC

∴△ACD≌△ACE(SAS)

∴∠ADC=∠AEC,CD=CE

∵∠ADC=∠AEC

∴∠AEC+∠B=∠ADC+∠B=180°

∵∠CEB+∠AEC=180°

∴∠B=∠CEB

∴CE=CB

∴CD=CB