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集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。数字 9 不 属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶数集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集,因为 9 既不是素数,也不是偶数。

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并集

定义:由所有属于A或属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集

表示:A∪B 读作:A并B

性质:A∪A=A

A∪Φ = Φ∪A=A(其中Φ在数学上代表空集)

A∪B=B∪A

定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集,记作A∪B,读作“A并B”

A∪B={xIx∈A或x∈B}

在集合论和数学的其他分支中,一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合,而不包含其他元素。

集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。数字 9 不 属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶数集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集,因为 9 既不是素数,也不是偶数。

更通常的,多个集合的并集可以这样定义:例如,A, B 和 C 的并集含有所有 A 的元素,所有 B 的元素和所有 C 的元素,而没有其他元素。

形式上:x 是 A ∪B ∪C 的元素,当且仅当 x ∈A 或 x ∈B 或 x ∈C。

二元并集(两个集合的并集)是一种结合运算,即 A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C。事实上,A ∪B ∪C 也等于这两个集合,因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的,并集运算满足交换律,即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。即 Φ ∪A = A,对任意集合 A。可以将空集当作零个集合的并集。

结合交集和补集运算,并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如,并集和交集相互满足分配律,而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算,可以获得相应的布尔环。

无限并集:

最普遍的概念是:任意集合的并集。若 M 是一个集合的集合,则 x 是 M 的并集的元素,当且仅当存在 M 的元素 A,x 是 A 的元素。即: <math>x \in \bigcup\mathbf \iff \exists A{\in}\mathbf, x \in A.</math>

无论集合 M 本身是什么,M 的并集是一个集合,这就是公理集合论中的并集公理。

例如:A ∪ B ∪ C 是集合 {A,B,C} 的并集。同时,若 M 是空集, M 的并集也是空集。有限并集的概念可以推广到无限并集。

上述概念有多种表示方法:集合论科学家简单地写 <math>\bigcup \mathbf</math> , 而大多数人会这样写 <math>\bigcup_{A\in\mathbf} A</math> 。 后一种写法可以推广为 <math>\bigcup_{i\in I} A_</math> , 表示集合 {Ai : i is in I} 的并集。这里 I 是一个集合,Ai 是一个 i 属于 I 的集合。在索引集合 I 是自然数集合的情况下,上述表示和求和类似: <math>\bigcup_{i=1}^{\infty} A_</math> 。

同样,也可以写作 "A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ···". (这是一个可数的集合的并集的例子,在数学分析中非常普遍;参见σ-代数)。最后,要注意的是,当符号 "∪" 放在其他符号之前,而不是之间的时候,要写的大一些。 交集在无限并集中满足分配律,即 <math>\bigcup_{i\in I} (A \cap B_) = A \cap \bigcup_{i\in I} B_</math> 。 结合无限并集和无限交集的概念,可得 <math>\bigcup_{i\in I} (\bigcap_{j\in J} A_{i,j}) \subseteq \bigcap_{j\in J} (\bigcup_{i\in I} A_{i,j}).</math>