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周髀算经

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《周髀算经》原名《周髀》,算经的十书之一,是中国最古老的天文学和数学著作,约成书于公元前1世纪,主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一,故改名《周髀算经》。

《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍并证明了勾股定理

《周髀算经》的采用最简便可行的方法确定天文历法,揭示日月星辰的运行规律,囊括四季更替,气候变化,包涵南北有极,昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障,自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考,在此基础上不断创新和发展。

假设我们把《周髀算经》的本文限定为商高与周公的问答,似乎其成书年代也就不难断定了。可是,乾嘉以后,考据之学兴起,疑古之风日盛,到了现代,几乎所有的中外学者都不得不接受这样的推断:不仅商高是后人假托的,甚至陈子也是后人虚构出来的。于是,仅仅把商高问答看作《周髀算经》本文就不再有任何意义了。因此,许多学者都将陈子问答以后的文字作为《周髀算经》全文的一个部分,不再加以区分。 如此一来,人们开始根据《周髀算经》中的内容推断它的成书年代。

通常的方法可以分成两类:天文学史专家,喜欢利用现代天文学手段,根据《周髀算经》中记录的一些特殊的天文现象或数据,推算其应该出现的年代,并以此来确定其成书时代。例如,日本学者能田忠亮便以《周髀算经》中的北极星(北极璇玑)到北天极的距离.归算出其成书年代大约在公元前5到7世纪之间。

另一种方法则是根据《周髀算经》涉及的一些内容,与相对而言年代比较明确的其他历史典籍的比较,推断其成书年代。钱宝琮(1892年-1974年)在《周髀算经考》中对《周髀算经》的年代做出如下的考证:第一,《周髀算经》主要分为两个部分,前为商高问答,后为陈子模型;第二,由于怀疑商高是后人的伪托,因此,认为陈子以下的文字才是《周髀算经》的主体,通过与《淮南子·天文训》的比较,从六个方面论述了陈子以下的文字成书在

公元前100年左右;第三,“周髀”的意思以陈子之说为准,同时也提到其他一些解释;第四,比较24气名目及次序与《三统历》之异同,提到赵爽注称原节气长度15日与《淮南子》的粗略记法类似;第五,分数算法的繁复与《九章算术》类似。他的结论是,《周髀算经》成书在公元前100年左右。 在疑古思潮的影响下,还有一种倾向也值得人们的注意,那就是以《周髀算经》全书中所有内容的下限来判定它的成书年代,古克礼(C.Cullen)大约可以算是这个方面的一个代表。

古克礼认为以前的学者大多错误地企图去发现《周髀算经》作为一个整体完成的年代,因此,它们的结论是在一种假象的幻觉中获得的。他认为,这部书是一些志同道合的研究者分别撰述的论文集。他的做法是,首先,调查《周髀算经》的内在结构,并将其划分为不同的章节,讨论节与节之间的关系;其次,讨论与各节内容有关的外部世界的资料与活动;第三,探讨可能产生与各节内容相关的历史环境。他将《周髀算经》的整体编排打乱,把它们划分为外篇与内篇两个部分。其中内篇以陈子模型为主展开,取其下限在公元1世纪。

在有关外部环境的讨论中,指出作为皇家的藏书目录,班固(32-92年)编写的《汉书·艺文志》中有《许商算术》与《杜忠算术》而无《周髀算经》;盖天说在公元l世纪已经为人所熟知,蔡邕在公元180年已经明确将其列为中圈古代的三家宇宙论之一。结论是,由于受到了浑天说的影响,《周髀算经》的成书时间不可能早于公元前l世纪,但也不会晚于公元200年。 笔者以为,判别中国古代科学典籍的完成年代,应该以书中主要的科学思想或知识水平所反映的年代为判别标准,而不应以书中夹杂的若干后代掺入的只言片语作为推断的条件。由于早期的科学典籍通常都是人类知识逐渐积累的结晶,因此,搞清楚其中科学思想的萌生时期与流传脉络,也许比单纯判定它的成书年代更有意义。

科学史已经反复地证明,今天看来是非常显然的科学真理,在人类认识它的初期往往经历了长期的怀疑,甚至抵制。例如,岁差现象在南北朝时期的存废之争,就是一个典型的事例。因此,试图通过以《周髀算经》中的内容的完整或正确性介于某两个古代文献之间,就认定其成书年代也必定介于两者之间的方法,是靠不住的。而利用一些重要数据的理论推算来判定其成书年代的方法,许多时候也是不太可行的。有关《周髀算经》成书年代的讨论,冯礼贵曾经收集了14种不同的观点。尽管在《周髀算经》成书年代的判断上有很大的区别,但几乎所有的研究者都有一个共识,那就是《周髀算经》并不是成书于一人一时,它经过了许多朝代的流传进化才得以完成我们所看到的篇幅与结构。

章鸿钊曾经明确地将《周髀算经》的形成划分为三个时期:第一期,商高问答;第二期,陈子问答;第三期,陈子以后的文字。这样的划分,是许多人都默认的一个事实。正如陈方正在总结前人对《周髀算经》成书过程的讨论时所说: 《周髀》不但不是个人的著作,甚至也未必是单一性质的著作,而可能是由多个在不同历史时期出现,相关、相类但并不相同的学说、理论,逐渐累积而成。因此,将《周髀算经》单纯视为表述盖天说的自洽体系,而忽视它的层积性质,是不甚恰当的。笔者也赞同将《周髀算经》的形成划分为三个时期。具体而言,上卷之一,商高与周公的问答,应该是《周髀算经》的原始文字,它反映了早期的以商高为代表的中国古代数学家对数学以及数学之为用的认识。商高答周公问企图说明的问题是解决几何测量学的数学方法,这一点他做到了。这个方法包含勾股定理与用矩之道。按照商高的说法,这些数学内容在大禹治水的时候已经具备,应该是可信的。第二个时期,陈子模型的提出,其内容为上卷之二陈子与容方的问答,这个部分大约在战国时期已经形成。这个时期,陈子将商高的用矩之道进一步发展成为测望日高的重差术。也是可以相信的。陈子问答中试图解决的问题是,利用影差原理与日高术,在商高的用矩之道的基础上,进一步完善更加宏大的测天量地的理论与实践。陈子模型的提出,事实上是在向着这样的目标迈出了关键的一步:把商高的《周髀》转化为盖天说的《周髀》,把一部比较单纯的数学著作转化为一部纯粹的数理天文学论著。

从上卷之三开始,是对盖天说理论的扩张与完善。首先是在陈子模型的基本假设下,建立七衡六间的宇宙模型,并以术文的形式给出每日太阳运行轨道的计算方法,使七衡图成为一个可以操作的真正的活动式星盘。在此基础上,进一步引入新的天地形状的模式,给出了地理五带的划分、寒暑成因的解释、日出日落的方位,并建立了盖天说的天体测量学,引入了去极度的概念,制作了比较完整的《四分历》等等。这些虽然大大地丰富了陈子模型的理论内涵,但同时也制造了盖天说系统内部的一些无法完全自洽的矛盾,成为后世学者不断批评的目标。这个部分的形成,意味着《周髀算经》作为一部论述盖天说理论的专著的完成。从《周髀算经》上卷之三开始,出现了大量的“术曰”,这一点与商高问答及陈子问答的行文风格形成明显的反差,从一个侧面反映出其形成时期应该是比前两个部分更加晚近的事实。

综上所述,《周髀算经》的第一部分商高问答,曾经作为《周髀算经》独立的本文,其完成时间应该是在西周初期,约公元前11世纪。陈子问答中的数学理论与宇宙模型完成的时间,大约在公元前4、5世纪。作为一部阐释盖天说理论的数理天文学著作,《周髀算经》从上卷之三开始,是对陈子模型的完善和扩充,其中的一些基本数据与结构,如七衡图与去极度等,应该是在陈子模型提出后就已经确定了的,但是,陈子假设的平行平面的天地模型,则得到了一定的修正,并且加入了一些新的东西,如寒暑成因与历法等内容,总而言之,《周髀算经》第三部分的成型,按照钱宝琮与刘朝阳的考证,应该不会晚于公元前100年。

根据《周髀算经》原文中的明确交待,以及在文献中对几个关键问题的详细论证,我们已经知道《周髀算经》中的盖天宇宙有如下特征∶

一、大地与天为相距80,000里的平行圆形平面。

二、大地中央有高大柱形物(高60,000里的“璇玑”,其底面直径为23,000里)。

三、该宇宙模型的构造者在圆形大地上为自己的居息之处确定了位置,并且这位置不在中央而是偏南。

四、大地中央的柱形延伸至天处为北极。

五、日月星辰在天上环绕北极作平面圆周运动。

六、太阳在这种圆周运动中有着多重同心轨道,并且以半年为周期作规律性的轨道迁移(一年往返一遍)。

七、太阳的上述运行模式可以在相当程度上说明昼夜成因和太阳周年视运动中的一些天象。

令人极为惊讶的是,笔者发现上述七项特征竟与古代印度的宇宙模型全都吻合!这样的现象恐非偶然,值得加以注意和研究。下面先报道笔者初步比较的结果,更深入的研究或当俟诸异日。

关于古代印度宇宙模型的记载,主要保存在一些《往世书》(Puranas)中。《往世书》是印度教的圣典,同时又是古代史籍,带有百科全书性质。它们的确切成书年代难以判定,但其中关于宇宙模式的一套概念,学者们相信可以追溯到吠陀时代----约公元前1000年之前,因而是非常古老的。《往世书》中的宇宙模式可以概述如下:

大地象平底的圆盘,在大地中央耸立着巍峨的高山,名为迷卢(Meru,也即汉译佛经中的“须弥山”,或作Sumeru,译成“苏迷卢”)。迷卢山外围绕着环形陆地,此陆地又为环形大海所围绕,……如此递相环绕向外延展,共有七圈大陆和七圈海洋。

印度在迷卢山的南方。

与大地平行的天上有着一系列天轮,这些天轮的共同轴心就是迷卢山;迷卢山的顶端就是北极星(Dhruva)所在之处,诸天轮携带着各种天体绕之旋转;这些天体包括日、月、恒星、……以及五大行星----依次为水星、金星、火星、木星和土星。

利用迷卢山可以解释黑夜与白昼的交替。携带太阳的天轮上有180条轨道,太阳每天迁移一轨,半年后反向重复,以此来描述日出方位角的周年变化。……

又唐代释道宣《释迦方志》卷上也记述了古代印度的宇宙模型,细节上恰可与上述记载相互补充∶

……苏迷卢山,即经所谓须弥山也,在大海中,据金轮表,半出海上八万由旬,日月回薄于其腰也。外有金山七重围之,中各海水,具八功德。

根据这些记载,古代印度宇宙模型与《周髀算经》盖天宇宙模型却是有惊人的相似之处,在细节上几乎处处吻合∶

一、两者的天、地都是圆形的平行平面;

二、“璇玑”和“迷卢山”同样扮演了大地中央的“天柱”角色;

三、周地和印度都被置于各自宇宙中大地的南半部分;

四、“璇玑”和“迷卢上”的正上方都是各种天体旋转的枢轴----北极;

五、日月星辰在天上环绕北极作平面圆周运动。

六、如果说印度迷卢山外的“七山七海”在数字上使人联想到《周髀算经》的“七衡六间”的话,那么印度宇宙中太阳天轮的180条轨道无论从性质还是功能来说都与七衡六间完全一致(太阳在七衡之间的往返也是每天连续移动的)。

七、特别值得指出,《周髀算经》中天与地的距离是八万里,而迷卢山也是高出海上“八万由旬”,其上即诸天轮所在,是其天地距离恰好同为八万单位,难道纯属偶然?

在人类文明发展史上,文化的多元自发生成是完全可能的,因此许多不同文明中相似之处,也可能是偶然巧合。但是《周髀算经》的盖天宇宙模型与古代印度宇宙模型之间的相似程度实在太高----从整个格局到许多细节都一一吻合,如果仍用“偶然巧合”去解释,无论如何总显得过于勉强。

当然,如果我们就此立刻进入关于“谁源于谁”的考据之中,那又将远远超出本文的范围。

2 寒暑五带的知识来自何处?

《周髀算经》中有相当于现代人熟知的关于地球上寒暑五带的知识。这是一个非常令人惊异的现象----因为这类知识是以往两千年间,中国传统天文学说中所没有、而且不相信的。

这些知识在《周髀算经》中主要见于卷下第9节∶

极下不生万物,何以知之? ……北极左右,夏有不释之冰。

中衡去周七万五千五百里。中衡左右,冬有不死之草,夏长之类。此阳彰阴微,故万物不死,五谷一岁再熟。

凡北极之左右,物有朝生暮获,冬生之类。

这里需要先作一些说明∶

上引第二则中,所谓“中衡左右”即赵爽注文中所认为的“内衡之外,外衡之内”;再由本文图1[5]就明确可知,这一区域正好对应于地球寒暑五带中的热带(南纬23°30′至北纬23°30′之间)----尽管《周髀算经》中并无地球的观念。

上引第三则中,说北极左右“物有朝生暮获”,这就必须联系到《周髀算经》盖天宇宙模型对于极昼、极夜现象的演绎和描述能力。据前所述,圆形大地中央的“璇玑”之底面直径为23,000里,则半径为11,500里,而《周髀算经》所设定的太阳光芒向其四周照射的极限距离是167,000里;[6]于是,由本文图1清楚可见,每年从春分至秋分期间,在“璇玑”范围内将出现极昼----昼夜始终在阳光之下;而从秋分到春分期间则出现极夜----阳光在此期间的任何时刻都照射不到“璇玑”范围之内。这也就是赵爽注文中所说的“北极之下,从春分至秋分为昼,从秋分至春分为夜”,因为是以半年为昼、半年为夜。

《周髀算经》中上述关于寒暑五带的知识,其准确性是没有疑问的。然而这些知识却并不是以往两千年间中国传统天文学中的组成部分。对于这一现象,可以从几方面来加以讨论。

首先,为《周髀算经》作注的赵爽,竟然就表示不相信书中的这些知识。例如对于北极附近“夏有不释之冰”,赵爽注称∶“冰冻不解,是以推之,夏至之日外衡之下为冬矣,万物当死----此日远近为冬夏,非阴阳之气,爽或疑焉。”又如对于“冬有不死之草”、“阳彰阴微”、“五谷一岁再熟”的热带,赵爽表示“此欲以内衡之外、外衡之内,常为夏也。然其修广,爽未之前闻”----他从未听说过。我们从赵爽为《周髀算经》全书所作的注释来判断,他毫无疑问是那个时代够格的天文学家之一,为什么竟从未听说过这些寒暑五带知识? 比较合理的解释似乎只能是∶这些知识不是中国传统天文学体系中的组成部分,所以对于当时大部分中国天文学家来说,这些知识是新奇的、与旧有知识背景格格不入的,因而也是难以置信的。

其次,在古代中国居传统地位的天文学说----浑天说中,由于没有正确的地球概念,是不可能提出寒暑五带之类的问题来的。因此直到明朝末年,来华的耶稣会传教士在他们的中文著作中向中国读者介绍寒暑五带知识时,仍被中国人目为未之前闻的新奇学说。[8]正式这些耶稣会传教士的中文著作才使中国学者接受了地球寒暑五带之说。而当清朝初年“西学中源”说甚嚣尘上时,梅文鼎等人为寒暑五带之说寻找中国源头,找到的正是《周髀算经》----他们认为是《周髀算经》等中国学说在上古时期传入西方,才教会了希腊人、罗马人和阿拉伯人掌握天文学知识的。

我们面临一系列尖锐的问题∶既然在浑天学说中因没有地球概念而不可能提出寒暑五带的问题,那么《周髀算经》中同样没有地球概念,何以却能记载这些知识?  如果说《周髀算经》的作者身处北温带之中,只是根据越向北越冷、越往南越热,就能推衍出北极“夏有不释之冰”、热带“五谷一岁再熟”之类的现象,那浑天家何以偏就不能?再说赵爽为《周髀算经》作注,他总该是接受盖天学说之人,何以连他都对这些知识不能相信?这样看来,有必要考虑这些知识来自异域的可能性。

首先,《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日。”(《周髀算经》上卷二)

而勾股定理的证明呢,就在《周髀算经》上卷一——

昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫善数也,请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”

商高曰:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。”

周公对古代伏羲(庖牺)构造周天历度的事迹感到不可思议(天不可阶而升,地不可得尺寸而度),就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例,解释数学知识的由来。“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。”解释发展脉络——数之法出于圆(圆周率三)方(四方),圆出于方(圆形面积=外接正方形面积*圆周率/4),方出于矩(正方形源自两边相等的矩),矩出于九九八十一(长乘宽面积计算依自九九乘法表)。

“故折矩①,以为勾广三,股修四,径隅五。”开始做图——选择一个勾三(圆周率三)、股四(四方)的矩,矩的两条边终点的连线应为5(径隅五)。

“②既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。”这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形(勾方、股方),根据矩的弦外面再画一个矩(曲尺,实际上用作直角三角形),将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形,可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。

“两矩共长③二十有五,是谓积矩。”此为验算——勾方、股方的面积之和,与弦方的面积二十五相等——从图形上来看,大正方形减去四个三角形面积后为弦方,再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半,可推出四个三角形面积等于右上、左下两个长方形面积,所以 勾方+股方=弦方。

注意:①矩,又称曲尺,L型的木匠工具,由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺,“矩形”才是“矩”衍生的长方形。

②“既方之,外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”,而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐、李国伟、李继闵、曲安京等学者研究,“既方之,外半其一矩”更符合逻辑。

③长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较,并没有发明新的术语,而统称“长”。赵爽注称:“两矩者,句股各自乘之实。共长者,并实之数。

由于年代久远,周公弦图失传,传世版本只印了赵爽弦图(造纸术在汉代才发明)。所以某些学者误以为商高没有证明(只是说了一段莫名其妙的话),后来赵爽才给出证明。其实不然,摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《勾股圆方图》——“句股各自乘,并之为弦实,开方除之即弦。案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差实亦成弦实。